如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB．
（2）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数.

在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：
(1)当时，EF=；
(2)当时，EF=；
(3)当时，EF=．
当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．

已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。
求BN：NQ：QM．

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.
（1）求证：.
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由.

如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证：（1）DG²＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．

已知直线y=-x+3分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，（1）直接写出当t＝1秒时，C、Q两点的坐标；（2）若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

如图，在Rt△AOB中，已知AO=6，OB=8，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，当Q点运动到A点则P点随之停止运动.设点P、Q移动的时间为t秒，当t为何值时，△APQ与△AOB相似?

如图，已知矩形的边长．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，是否存在时刻，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．