如图，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
实践探究（1）正方形FGCH的面积是          ；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．


联想拓展
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．
当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C，且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b、c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，已知直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l₂经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l₂从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．（1）求直线l₂的解析式．（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式．（3）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

（2009广西钦州）如图，已知抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且．（1）填空：点C的坐标是     ，b＝     ，c＝     ；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

（2009辽宁抚顺）已知：如图所示，关于x的抛物线（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

（2010山东东营）如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．

（2011山东东营）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(-3，0)，(0，1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线交折线OAB于点E．(1)记△ODE的面积为S．求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形．试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为___________，直线l的解析式为__________．
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。
（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax²+bx-3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．