（2010山东东营）如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值．
答案
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），
过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M．
∵S△ABC=48，BC=12，
∴AM=8，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴
，
而AN=AM－MN=AM－DE，
∴
，解之得DE=4.8．
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8，
（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，
∴y=x2，
此时x的范围是0＜x≤4.8，
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
即，
而AN=AM－MN=AM－EP，
∴
，
解得
．
所以
，即
，
由题意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积需分两种情况讨论，
当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04，
当4.8＜x＜12时，因为，
所以当
时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为二次函数的最大值：
；
因为24＞23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24．
知识点：中考压轴之面积问题
（1）根据题意，作出图示；分析可得：AM=8，且△ADE∽△ABC，进而可得，解可得答案．
（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，依据平行线以及正方形的性质，可得二次函数，再根据二次函数的性质，解可得重合部分的面积，比较可得面积的最大值．
略
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