如图，二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C，且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b、c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）由题意，得,解之得
（2）由（1）得，
当y=0时，x=-3或1，
∴B（1，0），A（-3，0），C（0，）
∴OA=3，OB=1，OC=.易求得AC=，BC=2，AB=4
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°
又由BM=BN=PN=PM知四边形PMBN为菱形，
∴PN∥AB，∴，
∴
过P做PE⊥AB于E，在Rt△PEM中，∠PME=∠B=，PM=
∴ME=
又OM=BM-OB=故OE=1，
∴P（-1，）
（3）

由（1）、（2）知抛物线的对称轴为直线x=-1，且∠ACB=90°，
①若∠BQN=90°
∵BN的中点到对称轴的距离大于1，而，
∴以BN为直径的圆不与对称轴相交，
∴∠BQN≠，即此时不存在符合条件的Q点
②若∠BNQ=90°，
当∠NBQ=60°，则Q、E重合，此时∠BNQ≠；
当∠NBQ=30°，则Q、P重合，此时∠BNQ≠即此时不存在符合条件的Q点
③若∠QBN=时，延长NM交对称轴于点Q，此时，Q为P关于x轴的对称点。
∴Q（）为所求

略