如图，在正方形ABCD中，M，N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN=45°．
（1）如图1，当点M，N分别在线段BC，DC上时，请直接写出线段BM，MN，DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M，N分别在CB，DC的延长线上时，若CN=CD=6，设DB与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ，AP的长．

如图，分别以△ABC的AB，AC为一边，向外作正方形ABEF和正方形AGHC．
（1）如图1，连接BG，CF相交于点P，则BG，CF数量关系：           ；位置关系             ；
（2）如图2，点D是BC的中点，点O₁，O₂分别是正方形ABEF和正方形AGHC对角线的交点，连接O₁D，O₂D，O₁O₂，判断△O₁O₂D的形状，并说明理由；
（3）如图2，若AB=6，AC=，∠BAC=60°，请直接写出O₁O₂的长．

如图，正方形ABCD中，E与F分别是AD、BC上一点．在①AE=CF，②BE∥DF，③∠1=∠2中，请选择其中一个条件，证明BE=DF．（1）你选择的条件是           （只需填写序号），请证明；（2）在BE=DF的前提下，当E点位于AD什么位置时，EF∥CD？请说明理由.

如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.

（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG；
（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
（4）当时，请直接写出的值.

如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．

兄弟两人骑马进城，全程51千米。马每小时行12千米，但只能一个人骑马。哥哥每小时步行5千米，弟弟每小时行4千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍栓马（时间忽略不计）然后独自步行;而步行者到达此地，再上马前进。如果他们早晨六点动身，何时能同时到达城里？

(2010年浙江绍兴市)（1）如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.（2）如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的长.（3）已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).

（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。实验与论证设旋转角∠A₁A₀B₁=α（α1A₀A₂）,θ₃，θ₄，θ₅，θ₆，所表示的角如图所示。
（1）用含α的式子表示角的度数：θ₃=　　　　　　　　　　_θ₄=　　　　　　　　　　　θ₅=_________
　　　　　　　　
（2）图1－图4中，连接A₀H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A₀A₁A₂…A_n－1与正n边形A₀B₁B₂…B_n－1重合（其中，A₁与B₁重合），现将正n边形A₀B₁B₂…B_n－1绕顶点A₀逆时针旋转α（）．
（3）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数；（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
         ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.