（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。实验与论证设旋转角∠A₁A₀B₁=α（α1A₀A₂）,θ₃，θ₄，θ₅，θ₆，所表示的角如图所示。
（1）用含α的式子表示角的度数：θ₃=　　　　　　　　　　_θ₄=　　　　　　　　　　　θ₅=_________
　　　　　　　　
（2）图1－图4中，连接A₀H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A₀A₁A₂…A_n－1与正n边形A₀B₁B₂…B_n－1重合（其中，A₁与B₁重合），现将正n边形A₀B₁B₂…B_n－1绕顶点A₀逆时针旋转α（）．
（3）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数；（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

答案

解：（１）．
（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．
证明：∵与是全等的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．
（３）当为奇数时，
当为偶数时，．
（４）存在，
当为奇数时，直线垂直平分．
当为偶数时，直线垂直平分．

知识点：全等三角形的判定  线段垂直平分线的性质  等边三角形的性质  正方形的性质  

解：（１）．
（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．
证明：∵与是全等的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．
（３）当为奇数时，
当为偶数时，．
（４）存在，
当为奇数时，直线垂直平分．
当为偶数时，直线垂直平分．

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．学生往往忽略这个性质。

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