（2010年宁德市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.⑴△EFG的边长是 （用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在 _；⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
答案
解：⑴x，D点；⑵①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝
x2；②分两种情况：Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，所以，此时y＝
x2－
（3x－6）2＝
.Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，∵EC＝6－x,∴y＝（6－x）2＝
.⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，∴x＝2时，y最大＝
；当2＜x＜3时，∵y＝在x＝
时，y最大＝
；当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，∴x＝3时，y最大＝
.
综上所述：当x＝时，y最大＝.
解：⑴x，D点；⑵①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；②分两种情况：Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，所以，此时y＝x2－（3x－6）2＝.Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，∵EC＝6－x,∴y＝（6－x）2＝.⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，∴x＝2时，y最大＝；当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，∴x＝3时，y最大＝.综上所述：当x＝时，y最大＝.
此题是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值。
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