如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，点A的对称点为A′，点D的对称点为D′，若∠FPG=90°，S_△A′EP=8，S_△D′PH=2，则矩形ABCD的长为(    )

如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，
则S_△ADE:S_{四边形BCED}的值为(    )

如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12．动点E从点B出发，沿线段BC（不包括端点B，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E，F同时出发，同时停止．连接AF并延长交BC的延长线于点M，再把AM沿AD翻折交CD的延长线于点N，连接MN．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△ABE∽△ECF；
（2）在点E运动的过程中是否存在某个时刻使AE⊥AN？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在运动的过程中，△AMN的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．

如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥DC于点E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，，求AF的长．

如图，在△ABC中，AB=2，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为(    )

如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
问题引入
（1）若点O是AC的中点，，求的值．
探索研究
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：．
拓展应用
如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F．若，，求的值．

图1图2

如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥AC，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．给出以下结论：
①AC=FG；②S_△FAB:S_{四边形CBFG}=1:2；③∠ABC=∠ABF；④AD²=FQ·AC．其中正确结论的个数为(    )

如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取一点E，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）若AB=4，AE=6，AD=14，求线段AF的长．

如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=，，则____．