在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当时，有；
（2）当时，有；
（3）当时，有；
（4）当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）．

如图,四边形ABCD,M为BC边的中点.若∠B=∠AMD=∠C=45°,AB=8,CD=9,则AD的长为()

如图,将含30°的三角板DEF(其中∠EDF=30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC=120°)的底边中点O重合,两边分别与线段AB,BC相交于点P,Q.若AC=,AP=,则BQ的长为()

如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于点F,ME交BC于点G.(1)下列三对三角形:①△AMF与△BGM;②△DMG与△BDM;③△MEF与△AEM;其中相似的有         ;(2)连接FG,若α=45°,AF=3,CF=1,则FG的值为()

如图,在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△ADE摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AED=90°,若△ABC固定不动,△ADE绕点A旋转,AD,AE与边BC的交点分别为F,G(点F不与点B重合,点G不与点C重合).若BG=8,AB=,CF=9,则AG=      ,AF=       .()

如图,在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF,AG与边BC的交点分别为D,E(点D不与点B重合,点E不与点C重合).若BD=4,DE=5,CE=3,则AD=      ,AE=       .()

如图,在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF,AG与边BC的交点分别为D,E(点D不与点B重合,点E不与点C重合).AB=2,BE=m,CD=n,求m,n满足的关系式为()

如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=10,点P是AB边上的任意一点(不与A,B重合),连接PD,过点P作PQ⊥PD,交直线BC于点Q.若点Q与点C重合,则AP=________________.

如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AB=4,BC=9,P为BC边上一动点(不与点B,C重合),连接AP,过点P作PE交CD于点E,使得∠APE=∠ABC.则当BP=___________时,点E为CD的中点.

如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=1,BC=8,AB=6,点P在高AB上滑动,当AP长为_________时,△DAP与△PBC相似.