如图,□OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴上,∠AOC=60°,OC=4cm.OA=8cm.动点P从点O出发,以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动;动点Q同时从点O出发,以acm/s的速度沿线段OC→CB运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(秒).
(1)当a=1时,设△OPQ的面积为S,则S与t的函数关系式为           .
(2)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O,M,P为顶点的三角形与△OAB相似,则a与t的函数关系式为           (并直接写出t的取值范围).

如图，在△ABC中，ABC=90°，AB=6，BC=8，动点P从点A出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q从点C出发，沿CB向点B移动．在运动过程中，始终满足AP=2CQ，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设CQ=x．
（1）求△CPQ的面积S关于x的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出x的值．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB₁∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向运动．过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EF⊥AC，交射线BB₁于点F，G是EF的中点，连接DG．设AD=5a，CE=3a．
（1）当a为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求a的值．

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA=2，OC=．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求
直线BB′的解析式；
（3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在Rt△ABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC．
（2）探究：是否存在这样的AD，使得△BME与△CNE相似？

如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿着AB向点B运动；同时点Q从点C出发，沿CA向点A运动，当点P到达点B时，点Q随之停止运动．已知．
（1）当AP为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=5,BD=8,E为射线BD上一动点,过点E作EF∥DC交射线BC于点F.连接DF,若△BDF与△BDA相似,则BF的长为(    )

已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于A,B两点,点P在线段OA上,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,线段OA上另有一点Q,且AQ=OP.
设OP=x,当以Q,C,A为顶点的三角形与△AOB相似时,则x的值为(    )

如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标为(6,0),(6,8).点M,N分别在线段OA,BC上,且满足OM=BN,过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连接MP.设OM=BN=x,当x的值为     时,以P,A,M为顶点的三角形与△AOC相似?(    )

如图,直线:与坐标轴交于A,B两点,点P为直线:x=-1上一动点,连接AP,BP.当△ABP为直角三角形时,则点P的坐标为(    )