已知：如图，在梯形ABCD中，AB=DC=8cm，BC=10cm，∠B=∠C，点E为边AB的中点，如果点P在线段BC上由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上以每秒2cm的速度由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点P的运动速度．

如图，等边△ABC中，在顶点A、C处各有一只蚂蚁，他们同时出发，分别以1cm/s的速度由A向B和由C向A爬行，经过t秒后，他们分别到达D，E处．请问两只蚂蚁在爬行过程中：
（1）BE与CD有何数量关系，为什么？
（2）BE与CD所成的∠BFC的大小是否发生变化？若有变化，请说明理由，若没有变化，求出∠BFC．

如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．
（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．
（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，问EF=BE-AF，成立吗？说明理由．
（2）如图2，若0°＜∠BCA＜90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF=BE-AF仍然成立．你添加的条件是，并给出证明．
（3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并给出证明．

在矩形ABCD中，E是BC的中点，点F在BC的延长线上，CM平分∠DCF，连接AE，作EM⊥AE交CM于点M．
（1）如图1，当AB=BC时，请判断AE与EM的数量关系并证明；
（2）如图2，当AB=nBC时，请判断AE与EM的数量关系并证明；
（3）如图3，把题目中“E是BC的中点”改为“BE=mEC”，当AB=nBC时，请判断AE与EM的数量关系并证明．

（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C．求证：EF=GH；
（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的数量关系并加以证明；
（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．

已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．
（1）如图1，当D为OA中点时，求的值；
（2）如图2，当AD:DO=1:m时，求的值；
（3）如图3，把题目中“点C为OB中点”改为“BC:CO=1:n”，当AD:DO=1:m时，直接写出的值．

在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当时，有；
（2）当时，有；
（3）当时，有；
（4）当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）．

如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．
求证：AE=BE+DF．