（2011辽宁大连）如图，抛物线y＝ax²+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

（2010山东威海）如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．

（2012山东菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△.（1）一抛物线经过点、、B,求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形的面积是△面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.

（2012黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥轴交抛物线于N，若点M的横坐标为，请用的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在，使△BNC的面积最大？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P做x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a，b及的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在合适的m的值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

如图，在直角坐标系中，抛物线y=a+bx+c(a0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，抛物线交y轴于点C(0,3),点D为抛物线的顶点.直线y=x-1交抛物线于点M,N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q.
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP,EQ，若EP=EQ时，求点P的坐标.

（2011广东清远）如图，抛物线y＝(x＋1)²＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－3)．
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限.
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

（2011贵阳）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与y轴交于点.
（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点（其中，），使，求点坐标.

（2007福州）如图所示，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.（1）求k的值；（2）若双曲线(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交于P、Q两点(P点在第一象限)，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.

（2009威海）一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图象相交于点A、B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C、E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于点K，连接CD．
（1）若点A、B在反比例函数图象的同一分支上，如图1，试证明：①；②AN=BM．
（2）若点A、B分别在反比例函数图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明结论．