如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC，交⊙O于另一点D，连接PA，PB．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则：
①当弦AP的长是         时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；
②当弧AP的长度是         时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．

如图所示，AB为⊙O的直径，过圆外一点C作⊙O的切线BC，连接AC交弧AB于点D，连接BD．若AB=5，AD=2，则BC=____．

若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．
（1）为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可）．
已知：如图1，直线与⊙O相交于点A，B，过点B作                    ．
求证：∠ABD=        ．
（2）如图2，直线与⊙O相交于点A，B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD=BC，AC=2，求⊙O的半径．

（2021陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E，F在⊙O上，且弧BF=2弧BE，连接OE，AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE，AF的延长线交于点C，D．
（1）求证：∠COB=∠A；
（2）若AB=6，CB=4，求线段FD的长．

如图，Rt△ABC中，以斜边AC为直径作⊙O，∠ABC的角平分线BP交⊙O于点P，过点P作⊙O的切线交BC延长线于点Q，连接OP，CP．
（1）求证：∠CPO=∠CBP；
（2）若BC=3，CQ=4，求PQ的长．

（2021陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为____．

（2020温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为(    )

如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点C是⊙O优弧AB上一点，连接AC，BC，如果∠P=∠C，⊙O的半径为1，则劣弧AB的长为(    )

（2020杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC=，则tan∠BOC的值为(    )

如图1和2，□ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB=，点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP与点P，设BP=x．
（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系：
（2）当x=4时，如图2，⊙O与AC交于Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；
（3）当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．