已知锐角∠AOB，在∠AOB内有P，Q两点，在OA边上找点M，在OB边上找点N，使得PM+MN+QN的值最小．

 A、B是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d的河上垂直建一座桥，使得从A村庄经过桥到B村庄所走的路程最短．

 在四边形ABCD中，AB＝CD，BC、AD的中点分别是E、F，BA、EF的延长线交于点M，CD、EF交于点N；求证：∠BME＝∠CNE．

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
 问：①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
 ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小， 并说明理由.

（2007北京)如图，已知△ABC．
（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB＋AC＞AD＋AE．

（2011山东）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

（2011四川改编）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点.
(1)当四边形ABCD的边至少满足_____条件时，四边形EFGH是菱形.
(2)当四边形ABCD的边至少满足_____条件时，四边形EFGH是矩形.
(3)当四边形ABCD的边至少满足_____条件时，四边形EFGH是正方形.

（2011湖南改编）如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）四边形EFGH可能是菱形，请给出判断依据；
（3）四边形EFGH可能是矩形，请给出判断依据；
（4）四边形EFGH可能是正方形，请给出判断依据；

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB．

（2）将三角板绕点P旋转到图2的情形时，三角形的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．探究：①△BPE与△CFP还相似吗？②连接EF，△BPE与△PEF是否相似？并证明．
如图，等腰三角形ABC中∠BAC=120°，P为BC中点，小颖拿着含30°角的三角板，使30°角的顶点落在P点，三角板围绕点P旋转．
（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图2的情形时，三角形的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．探究：①△BPE与△CFP还相似吗？②连接EF，△BPE与△PEF是否相似？并证明．