如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为____.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A(-4，0)，B(-1，0)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴左侧的抛物线上有一动点D．
①如图1，直线y=x+3与抛物线交于点Q，C两点，过点D作直线DF⊥x轴交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为:1？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
②如图2，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当□ODAE的面积S为何值时，满足条件的点D恰好有3个？请直接下来此时S的值以及相应的D点坐标．

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM的长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，并与抛物线的对称轴交于点C(2，2)．
（1）求k和b的值；
（2）在抛物线上是否存在点E，使它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上．如果存在，直接写出点E的坐标；如果不存在，试说明理由．

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，顶点F的坐标为(1，4)，对称轴交x轴于点H，直线交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G．
（1）求出a，b，c的值；
（2）点M为抛物线对称轴上一个动点，若△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，求出点M的坐标；
（3）点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线的对称点恰好落在x轴上时，请直接写出此时点P的坐标．

如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA，OC所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=        ；
（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

两条抛物线C₁：y₁=3x²-6x-1与C₂：y₂=x²-mx+n的顶点相同．
（1）求抛物线C₂的解析式．
（2）点A是抛物找C₂在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值．
（3）设抛物线C₂的顶点为点C，点B的坐标为(-1，-4)，问在C₂的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′，且点B′恰好落在抛物线C₂上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于坐标轴上两点A，C，抛物线与x轴另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式．
（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上．
①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD，求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；
②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．

如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线y=ax²+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线x=m（m<0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G(0，-1)，连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使∠BAP=∠BCO-∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．