如图所示，D为等边三角形ABC内一点，DA=DB，BP=BC，BD平分∠PBC，则∠BPD的度数为(    )

CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE        CF；EF      |BE-AF|（填“＞”，“<”或“=”）．
②如图2，若∠a+∠BCA=180°，则①中的BE与CF的关系还成立吗？请说明理由．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段的数量关系．（不要求证明）

如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点P以1cm/s的运动速度从点B出发，点Q以1.5cm/s的运动速度从点C同时出发，都逆时针沿
△ABC三边运动，则经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇？

如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，作OD⊥AB于点D，连接CO．
（1）求证：CO平分∠ACB；
（2）当AB=7，BC=8，AC=9时，AD的长为        ．（请直接写出答案）

如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，点E，F在线段AD上，且DF=2AF，∠1=∠2=∠BAC．若BE的长为5，求AD的长．

如图，点P为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且PM=PN，
∠BMP+∠BNP=180°．求证：BP平分∠ABC．

如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM=ON，BM与AN相交于点P．求证：PM=PN．

实际问题
在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度．
数学建模
将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸的那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理．
如图，如果AB⊥CD于点A，          ，那么AC=AD．
问题解决
说明AC=AD的理由．

（2021哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为____．

如图，AD是△ABC的中线，若AD=5，AC=8，则AB的长不可能是(    )