（2009牡丹江）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°， ∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证 $S_{\triangle DEF}+S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$ ，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， $S_{\triangle CEF}$ 、 $S_{\triangle DEF}$ 、 $S_{\triangle ABC}$ 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

答案

图（2）情况下成立，图三情况下不成立，图三下关系为 $S_{\triangle DEF}-S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$

解：（1）图（2）下成立，证明如下：过点D作DG⊥AC于G点，DH⊥BD于H

从而在△DEG和△DFH中
$\begin{cases} \angle EDG=FDH \\ DG=DH \\ \angle DGE=\angle DHF=90^{0} \end{cases}$
∴△DEG≌△DFH（ASA）
∴S_△DEG=S_△DFH
∴ $S_{\triangle DEF}+S_{\triangle CEF}=S_{CHDG}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$
（2）图（3）下关系为 $S_{\triangle DEF}-S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$

辅助线转移面积

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