如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，CH⊥AB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO上任意一点，过B作BE⊥AF于E，连接DE交BC于G．求证：∠CAF=∠CDE．

如图所示，AB∥CD，AD、BC相交于E，过E作EF∥AB交BD于F，求证：.

已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：.

如图1，抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

(1)情境观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是_____，∠CAC′=______°．
(2)问题探究:如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
(3)拓展延伸:如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点，求证：MC：NC=AP：PB．

（2）将三角板绕点P旋转到图2的情形时，三角形的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．探究：①△BPE与△CFP还相似吗？②连接EF，△BPE与△PEF是否相似？并证明．
如图，等腰三角形ABC中∠BAC=120°，P为BC中点，小颖拿着含30°角的三角板，使30°角的顶点落在P点，三角板围绕点P旋转．
（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图2的情形时，三角形的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．探究：①△BPE与△CFP还相似吗？②连接EF，△BPE与△PEF是否相似？并证明．