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中考专题复习之多命题类选择填空压轴题备考练习

定义[a,b,c]为函数 $y=ax^2+bx+c$ 的特征数，下面给出特征数为 [2m，1-m，-1-m] 的函数的一些结论：
① 当m =-3时，函数图象的顶点坐标是 $(\frac{1}{3},\frac{8}{3})$ ；
② 当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 $\frac{3}{2}$ ；
③ 当m＜0时，函数在x> $\frac{1}{4}$ 时，y随x的增大而减小；
④ 当m≠0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有（　　）．

A.①②③④
B.①②④
C.①③④
D.②④

答案

正确答案：B

知识点：二次函数的图象二次函数的性质二次函数图象与系数的关系

解题思路

$y=ax^2+bx+c$ ，当特征数为[2m，1- m ，-1-m]时，函数为 $y=2mx^2+(1-m)x-1-m$
①代入m=-3得 $y=-6x^2+4x+2$ ，对称轴横坐标为 $\frac{1}{3}$ ，将 $x=\frac{1}{3}$ 代入求得顶点坐标为 $(\frac{1}{3},\frac{3}{8})$ ，①正确。
②设y与x轴的两个交点为 $x_1,x_2,(x_2>x_1)$ ，则有 $x_2-x_1$ 即为函数图象截x轴所得的线段长度， $x_1+x_2=\frac{m-1}{2m}$ ， $x_1\times x_2=-\frac{1+m}{2m}$
∴ $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1\times x_2=(\frac{3m+1}{2m})^2$
∴当m>0时，有 $x_2-x_1>\frac{3}{2}$
②正确；
③对称轴 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{(m-1)}{4m}$ ,当m<0时， $x>\frac{1}{4}$ ，
③错误；
④由题目选项知④正确。 $y=2mx^2+(1-m)x-1-m=(x+1)(2mx-1-m)$ ，利用十字相乘法，可以很轻松的解决④，函数必过(-1,0)点。

易错点

二次函数图象的性质，二次函数的性质掌握不清，包括对角线，两根和，两根积，函数与y轴交点坐标，顶点坐标都需要掌握。

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