图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．（1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）平行四边形APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
答案
(1)证明：在ΔABC和ΔAEP中
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴∠ACB=∠APE在ΔABC中，AB=BC
∴∠ACB=∠BAC
∴∠EPA=∠EAP
(2)平行四边形APCD是矩形，理由如下：
∵四边形APCD是平行四边形
∴AC=2EA, PD=2EP
∵由（1）知∠EPA=∠EAP
∴EA=EP则AC=PD
∴平行四边形APCD是矩形
(3)EM=EN
∵EA=EP
∴ ∠EPA=90°－α
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°-α)=90°+α
由（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点，
∴FP=FB
∴∠FPB=∠ABC=α
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-α+α=90°+α
∴∠EAM=∠EPN
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN
∴∠AEP=∠MEN
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN即∠MEA=∠NEP
∴ΔEAM≌ΔEPN
∴ EM=EN
知识点：全等三角形的判定 等腰三角形的性质 平行四边形的性质 矩形的判定 旋转的性质
略
略
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