比较大小：（1）设 $a=\sqrt{1003}+\sqrt{997},b=\sqrt{1001}+\sqrt{999},c=2\sqrt{1000}$ ，则a、b、c之间的大小关系是？
（2）（2011上海）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）
A. a＋c＞b＋c B. c－a＞c－b
C. ac＞bc D. $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$
（3）通过估算比较 $\frac{\sqrt{7}+1}{2}$ 与1.5的大小
（4）比较 $\sqrt[3]{29}$ 与2.9的大小

答案

解：（1） $a^{2}=(\sqrt{1003}+\sqrt{997})^{2}=1003+2\sqrt{1003\times 997}+997=2000+2\sqrt{1000^{2}-3^{2}}$
$b^{2}=2000+2\sqrt{1001\times 999}=2000+2\sqrt{1000^{2}-1}$
$c^{2}=(2\sqrt{1000})^{2}=4000=2000+2\sqrt{1000^{2}}$
由 $a^{2}<b^{2}<c^{2}$ ,得：a<b<c
（2）不妨取a=1,b=0,c=-1,带入验证可得：A为正确选项
（3） $1.5=\frac{3}{2}=\frac{2+1}{2}$ ，其中由于 $\sqrt{7}>2$ ，所以 $\frac{\sqrt{7}+1}{2}>\frac{2+1}{2}=1.5$
（4） $(\sqrt[3]{29})^{3}=29,(2.9)^{3}=24.389$
∵29>24.389，∴ $\sqrt[3]{29}>2.9$