如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P是底边BC上一点（不和B、C重合），连接AP，过P作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）求AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC=5:3？为什么？
答案
证明：（1）∵等腰梯形ABCD，∠APE=∠B
∴∠B=∠C=∠APE=60°，
∴∠BAP+∠BPA=120°
∠CPE+∠BPA=120°
∴∠BAP=∠CPE
又∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE
（2）延长BA，CD交于点F，
∴△FBC是等边三角形
∴FB=FC=BC=7cm，
又∵AD∥BC，
∴△FAD是等边三角形
∴FA=FD=AD=3cm
∴AB=FB-FA=7cm-3cm=4cm
(3)设BP=x,则PC=7-x,
∵CD=4，DE:EC=5:3，
∴EC=4×
=
=1.5，
∵△ABP∽△PCE
∴
,
即
，
解之得，x=1或6，
即BP=1cm或6cm时，DE:EC=5:3.
知识点：相似三角形的判定与性质
（1）由弦图模型的变形，得△ABP∽△PCE；（2）延长BA,CD构造等边三角形，可得AB的长；（3）利用△ABP∽△PCE，对应边成比例，可求的BP的长.
略
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