在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当时，有

（2）当时，有
（3）当时，有
（4）当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）．

如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为，点A、D的坐标分别为（－4，0）、（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.（1）求出点B、C的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式.

已知直线y=kx+3（k＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时，两点同时停止运动．（1）直接写出当＝1秒时，C、Q两点的坐标；（2）若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．

如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．
（1）点C坐标是         ，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是         ；
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大．

如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点R从O出发沿OM方向运动．
求：（1）C的坐标为         ；
（2）当△ANO与△DMR相似时，求点R的坐标．

如图．直线分别于x轴、y轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P．使得△PAB一个的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足+|OA-1|=0．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，沿线段CB由C向B运动，连接AP，是否存在点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t（s）．当△APQ是直角三角形时，求直线PQ的解析式．