如图，已知点P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4 cm，若C是OB上一个动点，则PC的最小值为____．

如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=6cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M，N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M，N两点重合．
（2）当点M，N分别在AC，BA边上运动时，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形．
（3）若点M，N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=6，则BD的长为(    )

如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，点D为AC中点，点E为AB边上一点，AE=DE，延长ED交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）若AB=12，求DE的长．

如图，已知∠MON及OM边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B，C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．下列结论错误的是(    )

如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠B=60°，PC=2，求PE的长．

在Rt△ABC中，∠C=90°，有一个锐角为30°，AB=6．若点E在直线BC上（不与点B，C重合），且∠CAE=30°，则BE的长为____．

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC，交BC于点D．若BC=6，则CD的长为____．

如图，等边△ABC的边长为2，CD为AB边上的中线，E为线段CD上的动点，以BE为边，在BE左侧作等边△BEF，连接DF，则DF的最小值为____．

若满足∠AOB=30°，OA=4，AB=k的△AOB的形状与大小是唯一的，则k的取值范围是____．