如图所示，有一长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4．在点A´处有一只蚂蚁，它想吃到与点A´相对的C点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路长的平方是多少？

答案

将长方体正对着我们的面记为“前面”，与它相对的面记为“后面”，左右两面分别记为“左面”、“右面”，上下两面分别记为“上面”、“下面”.显然，从A'到C的最短路线一定是从A'出发，经过长方体的两个面到达C.具体来说，它可能有“前上”、“前右”、“左上”、“左后”、“下右”、“下后”6种不同的情况（当然，“下右”、“下后”2种情况在实际问题中不具有可行性）.在这6种情况中，分别展开可能经过的两个面，根据两点之间线段最短可求得3种长度结果：
第一种结果：如图所示， $\footnotesize A^{'}C_{1}^{2}=A^{'}C_{2}^{2}=5^{2}+(3+4)^{2}=74$ ；（“前上”、“下后”）

第二种结果：如图所示， $\footnotesize A^{'}C_{3}^{2}=A^{'}C_{4}^{2}=3^{2}+(4+5)^{2}=90$ ；（“左上”、“下右”）

第三种结果：如图所示， $\footnotesize A^{'}C_{5}^{2}=A^{'}C_{6}^{2}=4^{2}+(5+3)^{2}=80$ ；（“前右”、“左后”）

综上所述，最短路长的平方为74.

从点A'经过两个面到达点C有六种途径，没有分类讨论

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