（2011安徽）如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

答案

证明：连接OC,因为点C在⊙O上，OA=OC,所以∠OCA=∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线．(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，所以∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，所以四边形OCDF为矩形，所以0C=FD，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，在Rt△AOF中，由勾股定理得.即，化简得：解得或。由AD<DF，知，故。从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.