如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：
BH=DH；② $CH=(\sqrt{2}+1)EH$ ；③ $\frac{S_{ENH}}{S{EBH}}=\frac{EH}{EC}$ ．其中正确的是（）

A.①②③
B.只有②③
C.只有②
D.只有③

答案

正确答案：B

假设BH=DH，即CH为边BD的中线，又CH为∠BCD的平分线，所以△BCD为等腰三角形，BD为底边，又DC⊥BD，根据等腰三角形的三线合一性质，DC与CH重合，显然矛盾，故①不正确；在△CDH和△CBE中，∠CDH=∠CBE=90°，∠DCH=∠BCE，所以△CDH∽△CBE，又所以 $\frac{CH}{CE}=\frac{CD}{CB}$ ，由已知条件易知△BCD为等腰直角三角形，所以 $\frac{CD}{CB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ，又所以 $\frac{CH}{CE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ，整理得

$\frac{CH}{EH}=\sqrt{2}+1$ ，②是正确的； BD⊥DC，EN∥DC交BD于点N，所以EN⊥BD，又所以 $\frac{S{ENH}}{S{EBH}}=\frac{NH}{BH}$ .易证△EHN∽△CEB，所以 $\frac{EH}{EC}=\frac{NH}{BE}$ .在△BEH中，∠BEH=90°-22.5°=67.5°，∠BHE=∠CHD=90°-22.5°=67.5°，所以△BEH为等腰三角形，即BH=BE.所以 $\frac{NH}{BH}$ = $\frac{NH}{BE}$ ，又所以 $S{ENH}\frac{S{ENH}}{S{EBH}}=\frac{EH}{EC}$ ，即③是正确的。综上，本题②③是正确的，所以正确答案选B.