方法感悟:(1)已知:如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证:EF=DE+BF.
解题思路:
延长CB到G,使BG=DE,连接AG;在正方形ABCD中,AB=AD,∠ABG=∠D=∠BAD=90°;根据全等三角形判定定理可以得到△ABG≌△ADE,根据全等三角形的性质可以得到∠1=∠2,AG=AE;因为∠BAD=90°,∠EAF=45°,所以∠2+∠3=45°,从而得到∠1+∠3=45°,于是∠FAG=∠FAE=45°,根据全等三角形判定定理可以得到△FAG≌△FAE,由全等三角形性质可以得到EF=FG=BF+BG=BF+DE;
(2)类比探究:如图②,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,即△ABC≌△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=∠DAB.求证:EF=DE+BF.

解题思路:类比(1)的思路,添加辅助线为           ,由于△ABC≌△ADC,根据全等三角形性质可以得到AD=AB,由于∠ABC=90°,所以∠ABG=90°,根据全等三角形的判定定理           ,得到           ;由全等三角形的性质可以得到∠BAG=∠DAE,AG=AE;因为∠EAF=∠DAB,所以∠DAE+∠BAF=∠DAB,等量代换得到∠BAG+∠BAF=∠DAB,于是           ,根据全等三角形的判定定理可以得到           ,又由全等三角形的性质可以得到EF=FG,得到结论DE+BF=EF.
①延长CB到G,使∠GAB=∠DAE,BG=DE,连接AG,②延长CB到G,使BG=DE,连接AG,③SAS,④SSA,⑤△ABG≌△ADE,⑥△FAG≌△FAE,⑦∠EAF=∠GAF,⑧∠CAE=∠CAF;
括号里所填内容的顺序正确的是(    )

已知:如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.
(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其它条件不变,(1)中的结论(EF=EG)是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

解题思路:(2)类比第(1)问的思想,构造两个直角三角形,证明全等;添加辅助线为           ;所以∠EMC=∠ENC=90°,在正方形ABCD中,∠ACB=∠ACD=45°,∠MEC=∠NEC=45°,又因为CE是公共边,所以利用全等三角形的判定定理           ,证明           ,进而得到EM=EN,因为∠GEF=∠MEN=90°,根据同角的余角相等可以得到∠MEG=∠NEF,利用全等三角形的判定定理           ,证明           .
①过点E作EM⊥BC于M,过点E作EN⊥DC于N;②过点E作EM⊥AB于M,过点E作EN⊥AD于N;③ASA;④AAS;⑤△EMC≌△ENC;⑥△EMG≌△ENF;
以上横线处,依次所填正确的是(    )

已知:如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.
(1)求证:EF=EG.

解题思路:(1)由正方形ABCD可以得到条件∠D=∠EBG=∠BED=90°,ED=EB;又因为∠FEG=90°,根据           ,得到∠BEG=∠DEF;利用全等三角形的判定定理           ,证明           ,根据全等的性质可以得到EF=EG.
①同角的补角相等,②同角的余角相等,③△EDF≌△EBG,④△EDF≌△EGB,⑤AAS,⑥ASA
以上横线处,依次所填正确的是(    )

已知:如图,直线CD经过∠BCA的顶点C,点E,F在直线CD上,已知CA=CB,∠BEC=∠CFA=α.
(3)如图3,若0°<∠BCA<90°,若让你添加一个关于∠α与∠BCA的条件,使结论EF=BE-AF仍然成立,则你添加的条件是(    )

已知:如图,直线CD经过∠BCA的顶点C,点E,F在直线CD上,已知CA=CB,∠BEC=∠CFA=α.
(2)如图2,若∠BCA=60°,α=120°,结论EF=BE-AF仍成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由..

解题思路:(2)由∠BCA=60°,∠AFC=120°,可以得到∠BCE+∠ACF=60°,∠ACF+∠1=60°,得到             理由是                      .又因为CB=AC,∠BEC=∠CFA,因此根据全等三角形判定定理           ,可以得到           ,由全等的性质得到CE=AF,BE=CF,最后得到EF=CF-CE=BE-AF.
①∠BCE=∠1;②∠BCE=∠ACF;③等式性质;④同角的余角相等;⑤△BEC≌△AFC;⑥△BEC≌△CFA;⑦AAS;⑧ASA;
以上横线处,依次所填正确的是(    )

已知:如图,直线CD经过∠BCA的顶点C,点E,F在直线CD上,已知CA=CB,∠BEC=∠CFA=α.
(1)如图1,若∠BCA=90°,α=90°,试证明EF=BE-AF.

解题思路:(1)由∠BCA=∠CFA=90°,可以得到∠BCE+∠ACF=90°,∠ACF+∠1=90°,得到             理由是                      .又因为CB=AC,∠BEC=∠CFA,因此根据全等三角形判定定理           ,可以得到           ,由全等的性质得到CE=AF,BE=CF,最后得到EF=CF-CE=BE-AF.
①∠BCE=∠1;②∠BCE=∠ACF;③同角的余角相等;④同角的补角相等;⑤△BEC≌△AFC;⑥△BEC≌△CFA;⑦AAS;⑧ASA;
以上横线处,依次所填正确的是(    )

如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B,C,G在同一直线上,点M是AE的中点.
(3)将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,如图3,其他条件不变,则(1)中得到的结论(MD⊥MF)是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.

解题思路:(2)小明类比前两问,看到图3中M是AE的中点,并且AD∥BE,考虑延长DM交BE于点H,连接FD、FH,如下图,先证明           ,由全等的性质可以得到           .因为DC=AD,所以DC=HE,结合题目中的条件FC=FE,∠DCF=∠FEH==45°.又可以利用判定定理           证得           ,得到FD=FH,在等腰△DFH中,由等腰三角形三线合一,得到MF⊥DH,从而证明结论.
以上横线处,依次所填正确的是(    )
①△ADM≌△EHM;②△DCF≌△HEF;③DM=HM,AD=HE;④FD=FH;⑤SSA;⑥ASA;⑦SAS.

如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B,C,G在同一直线上,点M是AE的中点.
(2)若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使D,C,G三点在一条直线上,如图2,其他条件不变,则(1)中得到的结论(MD⊥MF)是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.



解题思路:(2)小明类比第(1)问,看到图2中M是AE的中点,并且AD∥GE,考虑延长DM交GE于点H,连接FD、FH.如下图,先证明           ,由全等的性质可以得到           ,进而可以得到DC=HE,由题目中的已知条件由∠DCF=∠FEH=90°,FC=FE,又可以利用判定定理           证得           ,得到FD=FH,在等腰△DFH中,由等腰三角形三线合一,得到           ,从而证明结论.
以上横线处,依次所填正确的是(    )
①△ADM≌△EHM;②△FDC≌△FHE;③DM=HM,AD=HE;④FD=FH;⑤SSA;⑥ASA;⑦SAS;⑧MF⊥DH;⑨FM平分∠DFH.

如图1,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B,C,G在同一直线上,点M是AE的中点.
(1)探究线段MD,MF的位置关系,并证明.

解题思路:(1)小明猜测MD⊥MF,看到图1中M是AE的中点,并且AD∥EF,考虑延长DM交EF于点H,如下图,先利用全等三角形的判定定理           ,证明           ,由全等的性质可以得到           ,所以CD=EH,进而可以得到FD=FH,在等腰△DFH中,由等腰三角形三线合一,得到           ,从而证明结论.
以上横线处,依次所填正确的是(    )
①AAS;②ASA;③SAS;④△ADM≌△EHM;⑤△FDM≌△FHM;⑥DM=HM,AD=HE;⑦FD=FH;⑧MF⊥DH;⑨FM平分∠DFH.

已知:如图,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F,图1、图2是旋转三角板所得图形的两种情况.
(2)若点E和点F分别在AB和BC边的延长线上时,如图2,OE=OF还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.

解题思路:(2)类比(1)的思路,添加的辅助线是           ,因为AB=BC,∠ABC=90°,所以△ABC是一个等腰直角三角形;根据点O是AC的中点,得到BO⊥AC,进而得到△BOC是等腰直角三角形,所以OB=OC,∠ACB=∠CBO=45°,又因为∠EOF=90°,根据           ,可以得到           ,又因为∠OBE=∠OCF=135°,根据全等三角形判定定理           ,可以得到           ,根据全等三角形的性质可以得到OE=OF.
①连接OB,②连接OB,使OB⊥AC,③∠BOE=∠FOC,④∠AOE=∠FCO,⑤同角的补角相等,⑥同角的余角相等,⑦△AOE≌△COF,⑧△BOE≌△COF,⑨AAS,⑩ASA,
以上横线处,依次所填正确的是(    )