如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中点P在弧AQ上且不与点A重合，但点Q可与点B重合．
发现：弧AP的长与弧QB的长之和为定值，求；
探究：当圆M与AB相切时，求弧AP的长．（注：结果保留π，，）

如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D₁时，有AD₁=30cm，∠B₁D₁C₁=120°．
（1）图2中，弓臂两端B₁，C₁的距离为       cm；
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D₂，使弓臂B₂AC₂为半圆，求D₁D₂的长．

如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A，B，C．
请完成下列填空：
（1）在图中确定并点出该圆弧所在圆的圆心D的位置，
圆心D的坐标为           ；
（2）⊙D的半径长为       ；（结果保留根号）
（3）弧AC的长为        ．（结果保留π）

如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在方格纸中的位置如图所示．将△ABC绕点C顺时针旋转90°，请画出△A′B′C，并求点A所经过的路径长（结果保留π）．