已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点（不与点A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是           ，QE与QF的数量关系是              ．
（2）如图2，当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．

如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，判断△APQ的形状，并说明理由．

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=∠C=90°，AB=BC，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF=45°，连接EF．求证：EF=AE+CF．

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，E，F分别是DA，BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．
求证：△EOD≌△FOB．

如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长度就是AB的长，为什么？

乐乐和数学小组的同学们研究了如下问题，请你也来试一下吧！点C是直线l₁上一点，在同一平面内，乐乐他们把一个等腰直角三角板ABC任意摆放，其中直角顶点与点C重合，过点A作直线l₂⊥l₁，垂足为点M，过点B作l₃⊥l₁垂足为N.
（1）当直线l₂，l₃，位于点C的两侧时，如图1，线段BN，AM与MN之间的数量关系是                  （不必说明理由）；
（2）当直线l₂，l₃，位于点C的右侧时，如图2，判断线段BN，AM与MN之间的数量关系，并说明理由；
（3）当直线l₂，l₃，位于点C的左侧时，如图3，请你补全图形，并直接写出线段BN，AM，MN之间的数量关系．

如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，且BE=CD，∠EDF=60°．求证：ED=DF．

已知：如图，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，F是CD的中点．求证：∠BAF=∠EAF．

如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．你能说明其中的道理吗？