如图，抛物线与直线分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A(0，3)，C(-3，0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线对称轴上有一点M，使|MB-MC|的值最大，求这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y=ax²+bx（）过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t，0)，当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，已知二次函数y=-x²+bx+3的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且OA=OB．
（1）求线段AC的长度；
（2）若点P在抛物线上，点P位于第二象限，过P作PQ⊥AB，垂足为Q．已知PQ=，求点P的坐标．

如图，抛物线与x轴交于点A和点B(1，0)，交y轴于点C，连接AC，BC，已知OA=2OC，且△ABC的面积为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q．抛物线上是否存在点P，使以P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2021上海）已知抛物线y=ax²+c（a≠0）经过点P(3，0)，Q(1，4)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．

（2021广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(-1，0)，连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b，c的值．
（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数y=-x²+bx+3的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且OA=OB．
（1）求线段AC的长度；
（2）若点P在抛物线上，点P位于第二象限，过P作PQ⊥AB，垂足为Q．已知PQ=，求点P的坐标．

如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x²+bx+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值．
（3）如图2所示，M是线段OA上的一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N．
①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为        ．
②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的表达式．
（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线与其“梦想直线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为          ，点A的坐标为          ，点B的坐标为          ．
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．