（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN= 时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
答案
（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．
正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，
BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠DCN=45°，∴∠MCN=135°．
在△AEM与△MCN中，
∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．
（2）结论AM=MN还成立证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．
△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，
BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．
∵N是∠ACP的平分线上一点，
∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120．
在△AEM与△MCN中，
∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．
（3）解：若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，则当∠AMN=
时，结论AM=MN仍然成立．
知识点：全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 正方形的性质
（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边相等得出AM=MN．
（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边相等得出AM=MN．
（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角即等于
时，结论AM=MN仍然成立．
略
WORD格式（
