求函数 $y=(\frac{5}{2}-k)x^{2}+(k-3)x+\frac{1}{2}$ 的图象与x轴的交点.

答案

当k= $\frac{5}{2}$ 或k=2时，函数图象与x轴只有一个交点（1，0）；当k≠ $\frac{5}{2}$ 且k≠2时，函数图像与x轴有两个不同交点（1，0），（ $\frac{1}{5-2k}$ ，0）.

由于 $\frac{5}{2}-k$ =0与k-3=0不可能同时成立，所以函数为一次函数或二次函数
当函数为一次函数时， $\frac{5}{2}-k=0$ 且k-3≠0，即k= $\frac{5}{2}$ 时，方程为y= $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ ，与x轴有一个交点（1，0）
当函数为二次函数时， $\frac{5}{2}-k\neq 0$ 即 $k\neq \frac{5}{2}$ 时，方程为
$y=(\frac{5}{2}-k)x^{2}+(k-3)x+\frac{1}{2}$ ，但此时若令y=0，b²-4ac范围不确定，故需要分情况讨论：b²-4ac=（k-3）²-4× $\frac{1}{2}(\frac{5}{2}-k)$ =（k-2）²≥0
当b²-4ac=（k-3）²-4× $\frac{1}{2}(\frac{5}{2}-k)$ =0即k=2时，抛物线与x轴只有一个交点（1,0）
当b²-4ac=（k-3）²-4× $\frac{1}{2}(\frac{5}{2}-k)$ ≠0即k≠2时，抛物线与x轴有两个交点（1,0）和（ $\frac{1}{5-2k}$ ，0）
综上，当 k= $\frac{5}{2}$ 或k=2时，函数图象与x轴只有一个交点（1，0）；当k≠ $\frac{5}{2}$ 且k≠2时，函数图像与x轴有两个不同交点（1，0），（ $\frac{1}{5-2k}$ ，0）.