已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD= $\frac{a}{3}$ (a为大于零的常数)，求BK的值．
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

答案

（1）证明：∵四边形据ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；
（2）∵AB=a，AD= $\frac{1}{3}$ a=BC，
∴AC= $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}+(\frac{1}{3}a)^2}=\frac{a}{3}\sqrt{10}$
∵BK⊥AC，
∴△BKC∽△ABC，
∴ ACBC= BKAB，
∴ $\frac{\frac{a\sqrt{10}}{3}}{\frac{a}{3}}=\frac{a}{BK}$ ，
∴ $\sqrt{10}$ BK=a，
∴BK= $\frac{\sqrt{10}}{10}$ a．
（3）连接OF，
∵ABCD为矩形，
∴ $\frac{EF}{ED}=\frac{OF}{BC}$ ，
∴EF= $\frac{1}{2}$ ED= $\frac{1}{2}$ ×6=3，
∵F是EG的中点，
∴GF=EF=3，
∵△AFD≌△HBF，
∴HF=DF=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，ABCD为矩形，
∴AE²=EF•ED=3×6=18，
∴AE= $3\sqrt{2}$ ，
∵△AED∽△HEC，
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{ED}{HE}=\frac{1}{2}$ ，
∴AE= $\frac{1}{3}$ AC，
∴AC= $9\sqrt{2}$ ，
则AO= $\frac{9\sqrt{2}}{2}$ ．

知识点：全等三角形的判定与性质三角形中位线定理垂径定理圆周角定理相似三角形的判定与性质

（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；
（2）根据勾股定理求得AC的长，再求证△BKC∽△ABC，利用其对应边成比例即可求得BK．
（3）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE= $\frac{1}{3}$ AC，然后即可求得AC即可．

此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂径定理，圆周角定理等知识点，综合性很强，利用学生系统的掌握知识，是一道很典型的题目

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