（2011浙江宁波中考）正方形的A₁B₁P₁P₂顶点P₁、P₂在反比例函数 $y=\frac{2}{x}(x>0)$ 的图象
上，顶点A₁、B₁分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P₂P₃A₂B₂，顶点P₃在反比例
函数 $y=\frac{2}{x}(x>0)$ 的图象上，顶点A₂在x轴的正半轴上，则点P₃的坐标为（）

A.（3,1）
B. $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$
C. $(1+\sqrt{3},\sqrt{3}-1)$
D. $(\frac{5}{2},1)$

答案

正确答案：C

过点 $P_{1}$ 作 $P_{1}$ $Q_{1}$ ⊥y轴交y轴于点 $Q_{1}$ ，过点 $P_{3}$ 作x轴的垂线于点 $Q_{2}$ ，过点 $P_2$ 作 $P_{3}$ $Q_{2}$ 的垂线交 $P_{3}$ $Q_{2}$ 的延长线于点 $Q_3$ ，
$\triangle P_1Q_1B_1\stackrel{\backsim}{=}\triangle B_1OA_1,\triangle B_1OA_1\stackrel{\backsim}{=}\triangle A_1Q_4P_2,\therefore P_1Q_1=B_1O=A_1Q_4,Q_1B_1=OA_1=Q_4P_2,$
设 $P_1(a,\frac{2}{a}),B_1(0,a),A_1(\frac{2}{a}-a,0),Q_4(\frac{2}{a},0),P_2(\frac{2}{a},\frac{2}{a}-a),$ 点 $P_2$ 在反比例函数上，所以有 $\frac{2}{a}.(\frac{2}{a}-a)=2,\therefore a=1$ ，设 $P_{3}$ $(b,\frac{2}{b})(b>0)$
在 $\triangle P_2Q_3P_3$ 和 $\triangle P_3Q_2A_2$ 中， $P_2P_3=P_3A_2,\angle 1=\angle 2,\angle P_2Q_3P_3=\angle P_3Q_2A_2,$ 所以 $\triangle P_2Q_3P_3$ ≌ $\triangle P_3Q_2A_2$ ，所以 $\therefore P_2Q_3=P_3P_2$ ， $P_3Q_2=\frac{2}{b},P_2Q_3=b-\frac{2}{a},\because \frac{2}{b}=b-\frac{2}{a},a=1,\therefore b=1\pm \sqrt{3},b>0,\therefore b=1+\sqrt{3},\therefore P_3(1+\sqrt{3},\sqrt{3}-1)$ ，故选C