（2008天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时，如图①，求证：MN²=AM²+BN²

（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN²=AM²+BN²
是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由

答案

证明：（1）过点B作∠CBG=∠A，并且使BG=AM，连结CG_，NG

则∠NBG=∠A+∠CBG=45°+45°=90°
在△ACM和△BCG中

∴△ACM≌△BCG（SAS）
∴∠1=∠2，CM=CG
∵∠ECF=45°
∴∠1+∠BCF=45°
即∠GCF=∠2+∠BCF=45°
在△GCN和△MCN中

∴MN=NG
在Rt△NBG中，BN²+BG²=NG²
由BG=AM，MN=NG
从而MN²=AM²+BN²
（2）成立，
证明：过点B作∠CBM₁=∠CAM，并且使BM₁=AM，连结CM₁，NM₁

在△ACM和△BCM₁中
AC=BC，∠CAM=∠CBM₁=135°，AM=BM₁
又∵∠CBM=45°，∴∠M₁BN=90°
∴△ACM≌△BCM₁（SAS）
∴∠1=∠2，MC=M₁C
∵∠ACB=90°，即∠ACM₁+∠2=90°，从而∠ACM₁+∠1=90°，即∠MCM₁=90°，
∵∠MCF=45°
∴∠FCM₁=45°
在△MCN和△M₁CN中
MC=M₁C,∠MCN=∠M₁CN，CN=CN
∴△MCN≌M₁CN
从而MN=M₁N
在Rt△BNM₁中，BM₁²+BN²=M₁N²
∵MN=M₁N，AM=BM₁
∴MN²=AM²+BN²

知识点：旋转的性质  运动变化型问题  

通过旋转将分散的关于三角形的边角关系集中到一个三角形中解决

辅助线的添加

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