如图，△ABC中，点O是边AC上啊一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
答案
（1）OE＝OF.
∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，又∵CE为∠BCO的角平分线，∴∠ECB＝∠ECO，∴∠OEC＝∠ECO，∴△OEC为等腰三角形，∴OE＝OC，同理可证OC＝OF，故OE＝OF.
（2）不会是菱形.
假设在边AC上存在一点O，使四边形BCFE为菱形，则CF＝FE，但∵CE为∠BCO的角平分线，CF为∠OCD的角平分线，∴∠OCE＋∠OCF＝90°，即△ECF为直角三角形，且∠ECF＝90°，∴斜边EF＞FC，与EF＝FC矛盾，因此四边形BCFE不会是菱形.
（3）要使四边形AECF为正方形，只需对角线AC与EF互相垂直平分，由（1）可知，O已经是EF的中点，只需满足O为AC的中点即可保证对角线AC与EF互相平分，又∵EF是水平方向的线段，要保证AC与EF垂直，只需AC为竖直方向的线段即可，即三角形ABC为直角三角形，且∠C＝90°.因此，当O运动到AC的中点，△ABC为直角三角形时，四边形AECF是正方形.
（1）可判断OE＝OF.
由已知的条件MN∥BC，知∠OEC＝∠ECB，又因为CE为∠BCO的角平分线，可以知道∠ECB＝∠ECO，∠OEC＝∠ECO，所以△OEC为等腰三角形，则OE＝OC，同理可以证明OC＝OF，因此OE＝OF.
（2）不会是菱形.
我们可以假设在边AC上存在一点O，使四边形BCFE为菱形，则CF＝FE，但因为CE为∠BCO的角平分线，CF为∠OCD的角平分线，所以∠OCE＋∠OCF＝90°，即△ECF为直角三角形，且∠ECF＝90°，所以斜边EF＞FC，这就与EF＝FC矛盾，因此四边形BCFE不会是菱形.
（3）要使四边形AECF为正方形，根据正方形的判定定理可以知道，只需对角线AC与EF互相垂直平分，由（1）可知，O已经是EF的中点，只需满足O为AC的中点即可保证对角线AC与EF互相平分，又∵EF是水平方向的线段，要保证AC与EF垂直，只需AC为竖直方向的线段即可，这样三角形ABC就为直角三角形，且∠C＝90°.因此，当O运动到AC的中点，△ABC为直角三角形时，四边形AECF是正方形.
略
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