如图,已知抛物线
与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.过点A作AP∥CB交抛物线于点P,M为x轴上方的抛物线上一点,过点M作MG⊥x轴于点G,若△AMG与
△PAC相似,则点M的坐标为( )

- A.
- B.
- C.
- D.
答案
正确答案:B
知识点:相似三角形的存在性

1.解题要点
①首先研究基本图形,求出各点坐标,∠PAC=90°.
②研究目标△PAC,,
△PAC是两直角边之比为1:3的固定直角三角形;
分析△AMG,A是定点,M,G是动点,∠MGA=90°属于不变特征,
若两个三角形相似,只需要满足.
③点G可能落在点A左侧,也可能落在点A右侧,
会牵涉到线段长表达时的符号问题,所以需要双重分类;
对每一种情况画图分析,依据②中的比例建等式求解.
2.解题过程
由题意得A(-1,0),B(1,0),C(0,-1),
∴OA=OB=OC=1,
∴∠ACB=90°,.
∵AP∥CB,
∴∠PAC=90°.
易求,
联立可求,
∴,
∴△PAC是两直角边之比为1:3的直角三角形.
设点M的坐标为,
①当时,如图所示,
.
当时,即
,解得
,
∴.
当时,即
,解得
,不符合题意.
②当时,如图所示,
.
当时,即
,解得
,
∴.
当时,即
,解得
,
∴.
综上,符合题意的点M的坐标为.

略
