(2010年重庆)已知：如图（1），在平面直角坐标系
中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC,∠C=120°．现有两动点Ｐ，Ｑ分别从Ａ，Ｏ两点同时出发，点Ｑ以每秒1个单位的速度沿ＯＣ向点Ｃ运动，点Ｐ以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D,使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN=60°,其两边分别与OB,AB交于点M,N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转(0°＜旋转角＜60°)，使得M,N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没变化,请求出周长；若发生变化，请说明理由．
中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC,∠C=120°．现有两动点Ｐ，Ｑ分别从Ａ，Ｏ两点同时出发，点Ｑ以每秒1个单位的速度沿ＯＣ向点Ｃ运动，点Ｐ以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止．（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D,使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图（2），现有∠MCN=60°,其两边分别与OB,AB交于点M,N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转(0°＜旋转角＜60°)，使得M,N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没变化,请求出周长；若发生变化，请说明理由．
答案
解：(1)过点C作CD⊥OA于点D.(如图①)∵OC=AC,∠ACO=120°,∴∠AOC=∠OAC=30°.∵OC=AC, CD⊥OA,∴OD=DA=1.在
△ODC中，
（i）当
时，
，
，
.过点Q作QE⊥OA于点E. (如图①)在△OEQ中，∵∠AOC=30°,∴
.∴S△OPQ=
.即
（ii）当
时，(如图②)，
∵∠BOA=60°,∠AOC=30°,∴∠POQ=90°.∴S△OPQ=
即
.故当时，
，当时，.(2)D
或
或
或
.（3）△BMN的周长不发生变化.延长BA至点F,使AF=OM,连接CF. (如图③)∵∠MOC=60°=∠FAC=90°,OC=AC,∴△MOC≌△FAC.∴MC=CF,∠MCO=∠FCA.∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA－∠MCN=60°.∴∠FCN=∠MCN.又∵MC=CF,CN=CN,∴△MCN≌△FCN.∴MN=NF.∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO－OM+BA+AF=BA+BO=4.∴△BMN的周长不变，其周长为4
.
知识点：运动变化型问题
（1）动点先研究基本图形；(2)研究动点的五个量；（3）表达线段（4）找几何特征（求面积是否能放到直角三角形中、等腰三角形一条线两个圆、周长能否转换）
（1）满足等腰三角形的点D找不全；（2）△BMN的周长找不到问题的突破口
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