（2009绵阳）如图，△ABC是直角边为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O₁的直径，半圆O₂过C点且与半圆O₁相切，则图中阴影部分的面积是_________．

答案

$\frac{5a^{2}}{36}$

解：连接O₁E，O₂D，O₁O₂．
设半圆O₂的半径是x，根据勾股定理，得
$(\frac{a}{2})^{2}+(a-x)^{2}=(\frac{a}{2}+x)^{2}$ ，
解得
$x=\frac{a}{3}$ ．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°．
∴∠O₂DC=∠C=45°，∠O₁EB=∠B=45°．
∴∠CO₂D=EO₁B=90°．
∴阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积-2（直角三角形CO₂D的面积+直角三角形BO₁E的面积） $\frac{1}{2}a^{2}-2(\frac{1}{2}\times \frac{a^{2}}{9}+\frac{1}{2}\times \frac{a^{2}}{4})=\frac{5}{36}a^{2}$
．

此题关键是能够根据勾股定理求得半圆O₂的半径，同时能够发现△O₂CD和△O₁BE都是直角三角形．

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（2009绵阳）如图，△ABC是直角边为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是_________．

答案

（2009绵阳）如图，△ABC是直角边为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O₁的直径，半圆O₂过C点且与半圆O₁相切，则图中阴影部分的面积是_________．