已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：cm，ab≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
答案
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE
∵EF垂直平分AC，垂足为O
∴OA=OC
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形
∵EF⊥AC
∴四边形AFCE为菱形
设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8-x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：
解得x=5
∴AF=5cm．
（2）①当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理：当P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．
只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，此时PC=QA．
∵PC=5t，QA=12-4t
∴5t=12-4t，解得t=
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒．
②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：
i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；
ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；
iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
知识点：四边形中的动点、存在性问题
略
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