如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接OG，若∠BAC=30°，下列结论：①DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG.其中正确结论的序号是（），并说明理由.
答案
解：①③④理由如下：
如图
在等边△ABD中，F为AB的中点
∴AB=DB，∠2=60°，∠DFB=90°
在直角△ABC中，
∠1=90°-30°=60°
∴∠DFB=∠ACB
∠2=∠1
DB=AB
∴△DFB≌△ACB
∴BF=BC
∵F为AB的中点
∴BF=AF
∴BC=AF
在等边三角形ACE中
AC=EA
∠EAC=60°
∴∠EAC+∠BAC=60°+30°=∠ACB
∴△ACB≌△EAF
∴△DFB≌△EAF————①成立
∴DF=AC
在等边△ACE中，AC=AE，∠3=60°
∴DF=AE————而在直角三角形ADF中，AD＞DF，∴AD＞AE，②错误
∵∠DFA=180°-∠DFB=90°，∠EAF=60°+30°=90°
∴∠DFA=∠EAF
∴DF//AE
∴四边形ADFE是平行四边形
∴AD//EF
∴∠AOE=∠DAC
而∠DAC=60°+30°=90°
∴∠AOE=90°
∴EF⊥AC————③成立
∵四边形ADFE是平行四边形
∴AG=GF=
AF
∴AG=
AB
∵AB=AD
∴AG=AD
即AD=4AG————④成立
知识点：作等边三角形
略
略
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