已知:在中,,动点绕的顶点逆时针旋转,且,连结.过、的中点、作直线,直线与直线、分别相交于点、.
(1)如图1,当点旋转到的延长线上时,点恰好与点重合,证明(提示取的中点,连结、,根据三角形中位线定理和平行线的性质即可证明).
(2)当点旋转到图2或图3中的位置时,与有何数量关系?请分别写出猜想,并证明.
答案
图2:∠AMF=∠ENB
图3:∠AMF+∠ENB=180°
证明:如图2,取AC的中点H,连接HE、HF
∵F是DC的中点,H是AC的中点
∴HF∥AD,HF=AD
∴∠AMF=∠HFE
同理,HE∥CB,HE=CB,
∴∠ENB=∠HEF
又∵
∴HF=HE
∴∠HEF=∠HFE
∴∠ENB=∠AMF
如图3,取AC的中点H,连接HE、HF
∵F是DC的中点,H是AC的中点
∴HF∥AD,HF=AD
∴∠AMF+∠HFE=180°
同理,HE∥CB,HE=CB,
∴∠ENB=∠HEF
又∵
∴HF=HE
∴∠HEF=∠HFE
∴∠AMF+∠BNE=180°
两题思路基本相同,都需要作出两条辅助线,两次运用中位线定理解答.
略